147. а) Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9, боковое ребро равно 6. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах. б) Апофема правильной треугольной пирамиды равна 2√7, боковое ребро равно 7. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах. в) Апофема правильной треугольной пирамиды равна √6, сторона основания равна 6. Найдите угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью ее основания. Ответ дайте в градусах.

Решение:

147. а)

Для нахождения угла между боковым ребром и плоскостью основания, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной около основания окружности. Однако, в данном случае, более удобно рассмотреть проекцию бокового ребра на основание. Проекция бокового ребра правильной треугольной пирамиды на плоскость основания совпадает с радиусом описанной окружности основания. Пусть \( L \) — боковое ребро, \( H \) — высота пирамиды, \( R \) — радиус описанной окружности основания. Искомый угол \( \alpha \) — это угол между \( L \) и \( R \). В прямоугольном треугольнике, образованном \( L \), \( H \) и \( R \), имеем: \( \cos \alpha = \frac{R}{L} \).

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \) находится по формуле \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). В данном случае \( a = 9 \), поэтому \( R = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \).

Боковое ребро \( L = 6 \).

Теперь найдём косинус угла:

\( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Следовательно, \( \alpha = 30^{\circ} \).

147. б)

Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это угол между апофемой и радиусом описанной окружности основания. Пусть \( l \) — апофема, \( L \) — боковое ребро, \( H \) — высота пирамиды, \( R \) — радиус описанной окружности основания, \( r \) — радиус вписанной окружности основания.

Апофема \( l = 2\sqrt{7} \), боковое ребро \( L = 7 \).

В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром, имеем \( l^2 + (\frac{a}{2})^2 = L^2 \). Нам нужно найти \( a \).

\( (2\sqrt{7})^2 + (\frac{a}{2})^2 = 7^2 \)

\( 28 + \frac{a^2}{4} = 49 \)

\( \frac{a^2}{4} = 49 - 28 = 21 \)

\( a^2 = 84 \)

\( a = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{7} \).

Угол \( \beta \) между плоскостью боковой грани и плоскостью основания находится в прямоугольном треугольнике, образованном апофемой \( l \), радиусом вписанной окружности \( r \) и высотой пирамиды \( H \).

\( \tan \beta = \frac{H}{r} \).

Сначала найдём высоту \( H \). В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды, имеем \( H^2 + r^2 = l^2 \).

\( H^2 + (\sqrt{7})^2 = (2\sqrt{7})^2 \)

\( H^2 + 7 = 28 \)

\( H^2 = 21 \)

\( H = \sqrt{21} \).

Теперь найдём тангенс угла:

\( \tan \beta = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{3} \).

Следовательно, \( \beta = 60^{\circ} \).

147. в)

Апофема \( l = \sqrt{6} \), сторона основания \( a = 6 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном апофемой, радиусом вписанной окружности и высотой пирамиды, имеем \( H^2 + r^2 = l^2 \).

\( H^2 + (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{6})^2 \)

\( H^2 + 3 = 6 \)

\( H^2 = 3 \)

\( H = \sqrt{3} \).

Угол \( \gamma \) между плоскостью боковой грани и плоскостью основания находится в прямоугольном треугольнике, образованном апофемой \( l \), радиусом вписанной окружности \( r \) и высотой пирамиды \( H \).

\( \tan \gamma = \frac{H}{r} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \).

Следовательно, \( \gamma = 45^{\circ} \).

Ответ: а) 30°; б) 60°; в) 45°.