148. а) Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 2√13, а сторона основания равна 6√3. Найдите высоту пирамиды. б) В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды. в) В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а высота пирамиды равна 4. Найдите сторону основания пирамиды.

Решение:

148. а)

Для правильной треугольной пирамиды радиус описанной около основания окружности \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона основания.

\( R = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \).

Высота пирамиды \( H \), боковое ребро \( L \) и радиус описанной окружности основания \( R \) связаны соотношением \( H^2 + R^2 = L^2 \).

\( H^2 + 6^2 = (2\sqrt{13})^2 \)

\( H^2 + 36 = 4 \cdot 13 = 52 \)

\( H^2 = 52 - 36 = 16 \)

\( H = 4 \).

148. б)

Для правильной шестиугольной пирамиды радиус описанной около основания окружности \( R \) равен стороне основания \( a \).

\( R = a = 8 \).

Высота пирамиды \( H \), боковое ребро \( L \) и радиус описанной окружности основания \( R \) связаны соотношением \( H^2 + R^2 = L^2 \).

\( H^2 + 8^2 = 17^2 \)

\( H^2 + 64 = 289 \)

\( H^2 = 289 - 64 = 225 \)

\( H = 15 \).

148. в)

Для правильной четырехугольной пирамиды (квадрат в основании) радиус описанной около основания окружности \( R \) равен половине диагонали основания. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \), где \( a \) — сторона основания. Тогда \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Высота пирамиды \( H \), боковое ребро \( L \) и радиус описанной окружности основания \( R \) связаны соотношением \( H^2 + R^2 = L^2 \).

\( 4^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = 5^2 \)

\( 16 + \frac{a^2 · 2}{4} = 25 \)

\( 16 + \frac{a^2}{2} = 25 \)

\( \frac{a^2}{2} = 25 - 16 = 9 \)

\( a^2 = 18 \)

\( a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Ответ: а) 4; б) 15; в) 3√2.