149. а) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен √14. Найдите сторону основания пирамиды.

Пусть сторона основания равна $$a$$, высота пирамиды $$h$$, апофема $$k$$. Тангенс угла между боковой гранью и основанием равен отношению высоты пирамиды к апофеме: $$\frac{h}{k} = \sqrt{14}$$. Также, $$k^2 = h^2 + (a/2)^2$$. Боковое ребро $$l=22$$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: $$l^2 = h^2 + (d/2)^2$$. Диагональ основания $$d = a\sqrt{2}$$, так что $$d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$. $$22^2 = h^2 + \frac{2a^2}{4} = h^2 + \frac{a^2}{2}$$. Из $$\frac{h}{k} = \sqrt{14}$$ следует $$h^2 = 14k^2$$. Также $$k^2 = h^2 + a^2/4$$. Подставляем $$h^2$$: $$k^2 = 14k^2 + a^2/4$$, что невозможно, так как $$k^2$$ должно быть положительным. Пересмотрим условие: тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания. Апофема $$k$$ является высотой боковой грани. Угол между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и проекцией апофемы на основание, которая равна половине стороны основания $$a/2$$. Таким образом, $$\tan(\alpha) = \frac{h}{a/2} = \sqrt{14}$$. $$h = \frac{a\sqrt{14}}{2}$$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной диагонали основания и боковым ребром: $$l^2 = h^2 + (d/2)^2$$. $$22^2 = (\frac{a\sqrt{14}}{2})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$$. $$484 = \frac{14a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{16a^2}{4} = 4a^2$$. $$a^2 = \frac{484}{4} = 121$$. $$a = 11$$.