149. а) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен √14. Найдите сторону основания пирамиды. б) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 13, диагональ основания BD равна 8. Точки К и М - середины ребер CD и ВС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC. в) В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение:

149. а)

В правильной четырёхугольной пирамиде угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности основания. Пусть \( \alpha \) — этот угол, \( \tan \alpha = \sqrt{14} \). Апофема \( l \), высота пирамиды \( H \) и радиус вписанной окружности \( r \) связаны соотношением \( l^2 = H^2 + r^2 \).

\( \tan \alpha = \frac{H}{r} \), значит \( H = r \tan \alpha = r \sqrt{14} \).

Боковое ребро \( L = 22 \). Связь между боковым ребром, высотой и радиусом описанной окружности \( R \): \( L^2 = H^2 + R^2 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{a}{2} \), где \( a \) — сторона основания. Радиус описанной окружности \( R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

Подставим \( H \) и \( R \) в уравнение для \( L \):

\( 22^2 = (r\sqrt{14})^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \)

\( 484 = r^2 · 14 + \frac{a^2 · 2}{4} \)

\( 484 = (\frac{a}{2})^2 · 14 + \frac{a^2}{2} \)

\( 484 = \frac{a^2}{4} · 14 + \frac{a^2}{2} \)

\( 484 = \frac{7a^2}{2} + \frac{a^2}{2} \)

\( 484 = \frac{8a^2}{2} = 4a^2 \)

\( a^2 = \frac{484}{4} = 121 \)

\( a = 11 \).

149. б)

Основание пирамиды — квадрат ABCD. Диагональ BD = 8, значит сторона квадрата \( a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \).

Высота пирамиды SO = 13. Точка O — центр квадрата.

К — середина CD, М — середина BC.

Плоскость SMK. Для нахождения угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC, построим перпендикуляр из точки М к CD (это будет прямая, параллельная BC и проходящая через середину CD, т.е. через точку K), и перпендикуляр из точки K к BC (это будет прямая, параллельная CD и проходящая через середину BC, т.е. через точку M). Это не помогает.

Рассмотрим плоскость основания. Угол между плоскостью SMK и плоскостью основания — это угол между прямой SM (или SK) и плоскостью основания. Это не так.

Рассмотрим плоскость, проходящую через S и перпендикулярную CD. Эта плоскость содержит высоту SO. Точка K — середина CD.

Плоскость SMK. Найдем линию пересечения плоскости SMK и плоскости основания ABC. Это прямая MK. Найдем линию пересечения плоскости SMK и боковой грани SBC. Это прямая SM. Найдем линию пересечения плоскости SMK и боковой грани SCD. Это прямая SK.

В плоскости основания ABC, линия MK. K — середина CD, M — середина BC. MK — средняя линия треугольника BCD. MK параллельна BD. Длина MK = \( \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} · 8 = 4 \).

Найдем проекцию точки S на плоскость основания — это точка O. Проекция линии SM на плоскость основания — это линия OM. Проекция линии SK на плоскость основания — это линия OK.

Угол между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC — это угол между прямой SM (или SK) и ее проекцией на плоскость основания (OM или OK).

Рассмотрим треугольник SOM. SO = 13. OM — расстояние от центра квадрата до середины стороны BC. OM = \( \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} · 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \).

\( \tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{13}{2\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{4} \).

Рассмотрим треугольник SOK. SO = 13. OK — расстояние от центра квадрата до середины стороны CD. OK = \( \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} · 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \).

\( \tan(\angle SKO) = \frac{SO}{OK} = \frac{13}{2\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{4} \).

Таким образом, тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания ABC равен \( \frac{13\sqrt{2}}{4} \).

149. в)

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Это означает, что высота основания \( a = 1 \), и боковые рёбра \( L = 1 \).

Плоскость проходит через середины боковых рёбер. Пусть вершины пирамиды — S (вершина) и ABCD (основание). Середины боковых рёбер SA, SB, SC, SD — это точки P, Q, R, T соответственно.

Плоскость PQR T. Так как P, Q, R, T — середины рёбер, то PQ параллельно AB, QR параллельно BC, RT параллельно CD, TP параллельно DA.

PQ = \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \). QR = \( \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \). RT = \( \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \). TP = \( \frac{1}{2} DA = \frac{1}{2} \).

Более того, PQ параллельно SR (средние линии треугольников SAB и SCD), и PS параллельно QR (средние линии треугольников SAD и QBC). Это неверно. PS и QR не параллельны. PR и QS — диагонали сечения.

PQRS — это ромб, так как все стороны равны \( \frac{1}{2} \).

Нужно найти высоту пирамиды. \( a=1 \). \( L=1 \).

Диагональ основания \( d = a\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2} \). Радиус описанной окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Высота \( H^2 = L^2 - R^2 = 1^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

\( H = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Плоскость, проходящая через середины боковых рёбер, отсекает от пирамиды меньшую пирамиду, подобную данной, с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \). Площадь сечения равна площади основания меньшей пирамиды, умноженной на коэффициент подобия в квадрате. Это не совсем так.

Сечение PQR T — это ромб. Найдем его диагонали.

Диагональ PR. P — середина SA, R — середина SC. PR — средняя линия треугольника SAC. Диагональ AC основания = \( \sqrt{2} \). PR = \( \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Диагональ QS. Q — середина SB, T — середина SD. QS — средняя линия треугольника SBD. Диагональ BD основания = \( \sqrt{2} \). QS = \( \frac{1}{2} BD = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Таким образом, сечение — это квадрат со стороной \( \frac{1}{2} \).

Площадь квадрата = \( (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).

Ответ: а) 11; б) \( \frac{13\sqrt{2}}{4} \); в) \( \frac{1}{4} \).