147. Диагонали трапеции ABCD (AD и BC — основания) пересекаются в точке O, AO = DO. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Так как AD ∥ BC, треугольники AOD и COB подобны: вертикальные углы при O равны, а соответствующие углы при параллельных прямых равны.

Из подобия следует AO / DO = CO / BO. По условию AO = DO, значит, CO = BO.

Диагональ AC пересекает параллельные основания, поэтому ∠ACO = ∠CAO. Из равенства BO и CO следует, что треугольник BOC равнобедренный, то есть ∠OBC = ∠BCO. С учётом параллельности оснований это даёт равенство углов при основании трапеции, например ∠ABC = ∠BCD. Следовательно, трапеция равнобедренная.

Что и требовалось доказать.