147. Диагонали трапеции ABCD (AD и BC — основания трапеции) пересекаются в точке O, AO = DO. Докажите, что трапеция равнобедренная.

Так как AD ∥ BC, треугольники AOD и COB подобны: ∠AOD = ∠COB (вертикальные), а соответствующие углы при параллельных AD и BC равны.

Из подобия следует пропорция AO : OC = DO : OB. По условию AO = DO, поэтому OC = OB. Тогда AC = AO + OC и BD = DO + OB, откуда AC = BD.

В трапеции равенство диагоналей влечёт равенство боковых сторон. Действительно, треугольники ABC и DCB имеют общую сторону BC, а AC = BD; кроме того, из параллельности оснований и равенства диагоналей следует равенство углов между диагоналями и BC, поэтому треугольники равны и AB = CD. Следовательно, трапеция равнобедренная.