147. На рисунке 255 ∠ACB = 90°, ∠BAC = 60°, ∠AEC = 90°. Найдите угол САЕ, если AB = 20 см, СЕ = 5 см.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle ACB = 90^{\circ} \]
• \[ \angle BAC = 60^{\circ} \]
• \[ \angle AEC = 90^{\circ} \]
• \[ AB = 20 \text{ см} \]
• \[ CE = 5 \text{ см} \]

Найти:

• \[ \angle CAE \]

Решение:

Сначала найдем длину катета AC в прямоугольном треугольнике ABC.

\[ AC = AB \cdot \cos(\angle BAC) \]

\[ AC = 20 \cdot \cos(60^{\circ}) \]

\[ AC = 20 \cdot \frac{1}{2} \]

\[ AC = 10 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACE. В нем нам известны катет CE и гипотенуза AC.

\[ \sin(\angle CAE) = \frac{CE}{AC} \]

\[ \sin(\angle CAE) = \frac{5}{10} \]

\[ \sin(\angle CAE) = \frac{1}{2} \]

Угол, синус которого равен 1/2, равен 30 градусам.

\[ \angle CAE = 30^{\circ} \]

Ответ: 30°