148. В треугольнике DEF известно, что ∠D = 90°, ∠F = 30°. Биссектриса угла Е пересекает катет DF в точке Р. Найдите FP, если EP + PD = 12 см.

Дано:

• \[ \triangle DEF \text{ - прямоугольный} \]
• \[ \angle D = 90^{\circ} \]
• \[ \angle F = 30^{\circ} \]
• \[ EP \text{ - биссектриса} \angle E \]
• \[ P \in DF \]
• \[ EP + PD = 12 \text{ см} \]

Найти:

• \[ FP \]

Решение:

1. Найдем углы треугольника DEF.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Поскольку \[ \angle D = 90^{\circ} \] и \[ \angle F = 30^{\circ} \], то:

\[ \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \]

2. Так как EP - биссектриса угла E, она делит его пополам:

\[ \angle DEP = \angle PEF = \frac{\angle E}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \]

3. Рассмотрим треугольник EFP. У него \[ \angle F = 30^{\circ} \] и \[ \angle PEF = 30^{\circ} \]. Следовательно, треугольник EFP равнобедренный с основанием PF. Значит, EP = FP.

4. Теперь рассмотрим треугольник EPD. У него \[ \angle D = 90^{\circ} \] и \[ \angle DEP = 30^{\circ} \]. Треугольник EPD — прямоугольный.

5. В прямоугольном треугольнике EPD, PD является катетом, противолежащим углу ∠DEP. Отношение этого катета к гипотенузе EP равно синусу угла:

\[ \sin(\angle DEP) = \frac{PD}{EP} \]

\[ \sin(30^{\circ}) = \frac{PD}{EP} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{PD}{EP} \]

\[ EP = 2 \cdot PD \]

6. Нам дано, что EP + PD = 12 см.

Подставим \[ EP = 2 \cdot PD \] в это уравнение:

\[ 2 \cdot PD + PD = 12 \]

\[ 3 \cdot PD = 12 \]

\[ PD = \frac{12}{3} = 4 \text{ см} \]

7. Так как EP = FP, а EP = 2 * PD:

\[ FP = 2 \cdot PD = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см} \]

Ответ: 8 см