15. (1 балл) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 + 1\), \(y = 0\), \(x = 1\), \(x = 2\).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 1 \), \( y = 0 \) (ось абсцисс), \( x = 1 \) и \( x = 2 \), можно найти с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{1}^{2} (x^2 + 1) dx \)

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{1}^{2} \]

\[ S = \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) \]

\[ S = \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{3} \right) \]

\[ S = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \]

Ответ: \(\frac{10}{3}\).