19. (3 балла) Решите уравнение \((2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} + x = 0\).

Решение:

Перенесём \(x\) в правую часть уравнения:

\[ (2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} = -x \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (2x-10)^2 (-x^2 + 12) = (-x)^2 \]

\[ (4x^2 - 40x + 100)(-x^2 + 12) = x^2 \]

Раскроем скобки:

\[ -4x^4 + 48x^2 + 40x^3 - 480x - 100x^2 + 1200 = x^2 \]

\[ -4x^4 + 40x^3 - 52x^2 - 480x + 1200 = x^2 \]

\[ -4x^4 + 40x^3 - 53x^2 - 480x + 1200 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4x^4 - 40x^3 + 53x^2 + 480x - 1200 = 0 \]

Это уравнение 4-й степени. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена \(-1200\). Также нужно учитывать ОДЗ: \(-x^2 + 12 \ge 0 \implies x^2 \le 12 \implies -\sqrt{12} \le x \le \sqrt{12} \implies -2\sqrt{3} \le x \le 2\sqrt{3}\). Это примерно \(-3.46 \le x \le 3.46\).

Проверим \(x=0\): \( (2(0)-10)\sqrt{-0^2+12} + 0 = -10\sqrt{12}
e 0 \).

Рассмотрим исходное уравнение \((2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} = -x\).

Если \(2x-10 = 0 \implies x = 5\). Это значение не входит в ОДЗ.

Если \(-x^2+12 = 0 \implies x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\). Подставим \(x=2\sqrt{3}\): \((4\sqrt{3}-10)\sqrt{-(2\sqrt{3})^2+12} + 2\sqrt{3} = (4\sqrt{3}-10)\cdot 0 + 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}
e 0\). Подставим \(x=-2\sqrt{3}\): \((-4\sqrt{3}-10)\sqrt{-(-2\sqrt{3})^2+12} - 2\sqrt{3} = (-4\sqrt{3}-10)\cdot 0 - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}
e 0\).

Попробуем решить иначе. Если \(x < 0\), то \(-x > 0\). Если \(2x-10 > 0 \implies x > 5\), что противоречит \(x<0\). Если \(2x-10 < 0 \implies x < 5\), то \((2x-10)\sqrt{-x^2+12}\) отрицательно, а \(-x\) положительно. Значит, решений при \(x<0\) нет.

Рассмотрим \(x > 0\). Тогда \(-x < 0\). Значит, \(2x-10\) должно быть положительным, т.е. \(2x-10 > 0 \implies x > 5\). Но \(x\) должно быть \( \le 2\sqrt{3} \approx 3.46\). Следовательно, решений при \(x>0\) нет.

Единственный кандидат на корень — \(x=0\), но мы уже проверили, что это не корень.

Возможно, в условии опечатка, и там \((2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} = x\) или \((2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} - x = 0\).

Если \((2x-10)\sqrt{-x^2 + 12} = x\):

\[ (4x^2 - 40x + 100)(-x^2 + 12) = x^2 \]

Это приведёт к тому же уравнению 4-й степени.

Ответ: Действительных корней нет (при условии, что уравнение записано верно).