15. (1 балл) Решите уравнение sin 2x = -\(\frac{1}{2}\).

Решение:

Решим тригонометрическое уравнение \( \sin(2x) = -\frac{1}{2} \).

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = a \) имеет вид \( \alpha = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В нашем случае \( \alpha = 2x \) и \( a = -\frac{1}{2} \). Значение \( \arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6} \).

Следовательно, \( 2x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Теперь найдем \( x \), разделив обе части на 2:

\[ x = \frac{(-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right)}{2} + \frac{\pi n}{2} \]\[ x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \], где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).