20. (3 балла) Основание прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Найдите объем параллелепипеда, если его высота равна 6 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°.

Решение:

Обозначим сторону квадрата в основании как \( a \). Высота параллелепипеда \( h = 6 \) см.

Диагональ основания \( d_{осн} \) квадрата равна \( a\sqrt{2} \).

Диагональ параллелепипеда \( D \) образует с плоскостью основания прямоугольный треугольник, где катетами являются диагональ основания \( d_{осн} \) и высота \( h \), а гипотенузой — сама диагональ параллелепипеда \( D \).

Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°.

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (диагонали основания):

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{d_{осн}} \]

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то \( h = d_{осн} \).

Следовательно, \( d_{осн} = 6 \) см.

Теперь найдем сторону основания \( a \) из соотношения \( d_{осн} = a\sqrt{2} \):

\[ 6 = a\sqrt{2} \]\[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \]

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \). Площадь основания \( S_{осн} = a^2 \).

\[ S_{осн} = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}^2 \]

Теперь вычислим объем:

\[ V = 18 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^3 \]

Ответ: \( 108 \text{ см}^3 \).