19. (3 балла) Найдите промежутки убывания функции y = x^2 + 12x - 100

Решение:

Функция убывает там, где её производная отрицательна.

Найдем производную функции \( y = x^2 + 12x - 100 \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 12x - 100) = 2x + 12 \]

Чтобы найти промежутки убывания, приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\[ 2x + 12 = 0 \]\[ 2x = -12 \]\[ x = -6 \]

Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty; -6) \) и \( (-6; +\infty) \).

• Возьмем значение \( x < -6 \), например, \( x = -7 \): \( y'(-7) = 2(-7) + 12 = -14 + 12 = -2 \). Так как \( y' < 0 \), функция убывает на интервале \( (-\infty; -6) \).
• Возьмем значение \( x > -6 \), например, \( x = 0 \): \( y'(0) = 2(0) + 12 = 12 \). Так как \( y' > 0 \), функция возрастает на интервале \( (-6; +\infty) \).

Следовательно, функция убывает на промежутке \( (-\infty; -6) \).

Ответ: \( x \in (-\infty; -6) \).