15.1. Решите неравенство

Решение:

а) \(\sqrt{2x-1} \le 5;\)

1. Возведём обе части неравенства в квадрат: \( 2x - 1 \le 25 \)
2. Решим линейное неравенство: \( 2x \le 26 \) \( x \le 13 \)
3. Учтём условие, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 2x - 1 \ge 0 \) \( 2x \ge 1 \) \( x \ge 0.5 \)
4. Объединим условия: \( 0.5 \le x \le 13 \)

Ответ: \( [0.5; 13] \).

б) \(\frac{2x-1}{3x-2} \le 3;\)

1. Перенесём 3 в левую часть: \( \frac{2x-1}{3x-2} - 3 \le 0 \)
2. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{2x-1 - 3(3x-2)}{3x-2} \le 0 \)
3. Упростим числитель: \( \frac{2x-1 - 9x+6}{3x-2} \le 0 \) \( \frac{-7x+5}{3x-2} \le 0 \)
4. Решим методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: \( -7x + 5 = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{7} \) и \( 3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \).
5. Отметим точки на числовой прямой: \( \frac{2}{3} \approx 0.667 \), \( \frac{5}{7} \approx 0.714 \).
6. Определим знаки на интервалах:
• \( x < \frac{2}{3} \): \( \frac{-7x+5}{3x-2} = \frac{+}{-} < 0 \)
• \( \frac{2}{3} < x < \frac{5}{7} \): \( \frac{-7x+5}{3x-2} = \frac{+}{+} > 0 \)
• \( x > \frac{5}{7} \): \( \frac{-7x+5}{3x-2} = \frac{-}{+} < 0 \)
7. Нам нужен интервал, где выражение \( \le 0 \). Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем: \( x < \frac{2}{3} \) или \( x \ge \frac{5}{7} \).

Ответ: \( (-\infty; \frac{2}{3}) \cup [\frac{5}{7}; +\infty) \).