15.2. Решите неравенство

Решение:

а) \(\sqrt{3x+1} - 5 > 0;\)

1. Перенесём 5 в правую часть: \( \sqrt{3x+1} > 5 \)
2. Возведём обе части неравенства в квадрат: \( 3x + 1 > 25 \)
3. Решим линейное неравенство: \( 3x > 24 \) \( x > 8 \)
4. Учтём условие, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 3x + 1 \ge 0 \) \( 3x \ge -1 \) \( x \ge -\frac{1}{3} \)
5. Объединим условия: \( x > 8 \).

Ответ: \( (8; +\infty) \).

б) \(\sqrt{\frac{x+3}{4-x}} \ge 2;\)

1. Возведём обе части неравенства в квадрат: \( \frac{x+3}{4-x} \ge 4 \)
2. Перенесём 4 в левую часть: \( \frac{x+3}{4-x} - 4 \ge 0 \)
3. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{x+3 - 4(4-x)}{4-x} \ge 0 \)
4. Упростим числитель: \( \frac{x+3 - 16+4x}{4-x} \ge 0 \) \( \frac{5x-13}{4-x} \ge 0 \)
5. Решим методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя: \( 5x - 13 = 0 \Rightarrow x = \frac{13}{5} = 2.6 \) и \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \).
6. Отметим точки на числовой прямой: 2.6 и 4.
7. Определим знаки на интервалах:
• \( x < 2.6 \): \( \frac{5x-13}{4-x} = \frac{-}{+} < 0 \)
• \( 2.6 < x < 4 \): \( \frac{5x-13}{4-x} = \frac{+}{+} > 0 \)
• \( x > 4 \): \( \frac{5x-13}{4-x} = \frac{+}{-} < 0 \)
8. Нам нужен интервал, где выражение \( \ge 0 \). Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю, получаем: \( 2.6 \le x < 4 \).
9. Учтём условие неотрицательности подкоренного выражения: \( \frac{x+3}{4-x} \ge 0 \). Решая методом интервалов, получаем \( -3 \le x < 4 \).
10. Пересечём оба условия: \( 2.6 \le x < 4 \).

Ответ: \( [2.6; 4) \).