15.3. Решите неравенство

Решение:

а) \(\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} > 0;\)

1. Перенесём \(\sqrt{x-1}\) в правую часть: \( \sqrt{x+1} > \sqrt{x-1} \)
2. Возведём обе части неравенства в квадрат: \( x+1 > x-1 \)
3. Решим полученное неравенство: \( 1 > -1 \), что является верным утверждением.
4. Учтём условия неотрицательности подкоренных выражений: \( x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1 \) и \( x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \).
5. Объединим все условия: \( x \ge 1 \).

Ответ: \( [1; +\infty) \).

б) \(\sqrt{x+4} > \sqrt{2-\sqrt{3+x}};\)

1. Сначала найдём область определения.
• \( x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4 \)
• \( 2-\sqrt{3+x} \ge 0 \Rightarrow 2 \ge \sqrt{3+x} \Rightarrow 4 \ge 3+x \Rightarrow x \le 1 \)
• \( 3+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -3 \)
2. Объединяя условия, получаем область определения: \( -3 \le x \le 1 \).
3. Возведём обе части неравенства в квадрат: \( x+4 > 2-\sqrt{3+x} \)
4. Перенесём известные слагаемые в одну сторону: \( x+4-2 > -\sqrt{3+x} \) \( x+2 > -\sqrt{3+x} \)
5. Перенесём \(-\sqrt{3+x}\) влево, а \(x+2\) вправо: \( \sqrt{3+x} > -(x+2) \) \( \sqrt{3+x} > -x-2 \)
6. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю, т.е. \( -x-2 \le 0 \Rightarrow -x \le 2 \Rightarrow x \ge -2 \). В этом случае неравенство \( \sqrt{3+x} > -x-2 \) верно, так как левая часть (корень) всегда неотрицательна. Учитывая область определения \( -3 \le x \le 1 \) и условие \( x \ge -2 \), получаем \( -2 \le x \le 1 \).
• Случай 2: Правая часть неравенства положительна, т.е. \( -x-2 > 0 \Rightarrow -x > 2 \Rightarrow x < -2 \). В этом случае мы можем возвести обе части неравенства в квадрат: \( (\sqrt{3+x})^2 > (-x-2)^2 \) \( 3+x > (x+2)^2 \) \( 3+x > x^2 + 4x + 4 \) \( 0 > x^2 + 3x + 1 \)
• Решим квадратное неравенство \( x^2 + 3x + 1 < 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x + 1 = 0 \): \( D = 3^2 - 4 · 1 · 1 = 9 - 4 = 5 \) \( x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \).
• \( x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 - 2.236}{2} \approx -2.618 \)
• \( x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{-3 + 2.236}{2} \approx -0.382 \)
• Так как ветви параболы \( x^2+3x+1 \) направлены вверх, неравенство \( x^2+3x+1 < 0 \) выполняется при \( \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \).
• Учитывая условие этого случая \( x < -2 \) и область определения \( -3 \le x \le 1 \), пересечением является \( \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < -2 \).
7. Объединим решения обоих случаев: \( -2 \le x \le 1 \) (из Случая 1) и \( \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x < -2 \) (из Случая 2).
8. Объединение этих интервалов даст: \( \frac{-3 - \sqrt{5}}{2} < x \le 1 \).

Ответ: \( (\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}; 1] \).