15.(3 балла) Найдите наименьшее значение функции y=2cos x+5x+8 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

Найдем производную функции \( y = 2\cos x + 5x + 8 \):

\( y' = (2\cos x + 5x + 8)' = -2\sin x + 5 \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -2\sin x + 5 = 0 \)

\( 2\sin x = 5 \)

\( \sin x = \frac{5}{2} \)

Так как \( \sin x \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1, 1] \), уравнение \( \sin x = \frac{5}{2} \) не имеет решений. Следовательно, критических точек нет.

Значит, наименьшее и наибольшее значения функции будут достигаться на концах отрезка \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При \( x = 0 \):

\( y(0) = 2\cos 0 + 5(0) + 8 = 2(1) + 0 + 8 = 2 + 8 = 10 \)

При \( x = \frac{3\pi}{2} \):

\( y(\frac{3\pi}{2}) = 2\cos \frac{3\pi}{2} + 5(\frac{3\pi}{2}) + 8 = 2(0) + \frac{15\pi}{2} + 8 = \frac{15\pi}{2} + 8 \)

Сравним полученные значения:

\( 10 \) и \( \frac{15\pi}{2} + 8 \).

Так как \( \pi \approx 3.14 \), то \( \frac{15\pi}{2} \) будет положительным числом, поэтому \( \frac{15\pi}{2} + 8 > 10 \).

Наименьшее значение функции равно \( 10 \).

Ответ: 10.