16.(3 балла) Решите систему уравнений { 2x+y=15; x-3y=log₂ 16.

Решение:

Сначала упростим второе уравнение:

\( x - 3y = \log_2 16 \)

Так как \( 2^4 = 16 \), то \( \log_2 16 = 4 \).

Таким образом, второе уравнение примет вид:

\( x - 3y = 4 \)

Теперь у нас есть система:

\[ \begin{cases} 2x + y = 15 \\ x - 3y = 4 \end{cases} \]

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\( y = 15 - 2x \)

Подставим это выражение во второе уравнение:

\( x - 3(15 - 2x) = 4 \)

\( x - 45 + 6x = 4 \)

\( 7x = 4 + 45 \)

\( 7x = 49 \)

\( x = \frac{49}{7} = 7 \)

Теперь найдем \( y \), подставив значение \( x \) в выражение для \( y \):

\( y = 15 - 2(7) = 15 - 14 = 1 \)

Проверим решение, подставив \( x = 7 \) и \( y = 1 \) в исходную систему:

\( 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15 \) (Верно)

\( 7 - 3(1) = 7 - 3 = 4 \) (Верно)

Ответ: \( x=7, y=1 \).