15. (3 балла) Решите уравнение \( \sqrt[4]{x^2 + 3x} = \sqrt{21 - x} \)

Решение:

Возведём обе части уравнения в 4-ю степень, чтобы избавиться от корней:

\( (\sqrt[4]{x^2 + 3x})^4 = (\sqrt{21 - x})^4 \)

\( x^2 + 3x = (21 - x)^2 \)

Раскроем квадрат разности:

\( x^2 + 3x = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot x + x^2 \)

\( x^2 + 3x = 441 - 42x + x^2 \)

Вычтем \( x^2 \) из обеих частей:

\( 3x = 441 - 42x \)

Перенесём \( -42x \) в левую часть:

\( 3x + 42x = 441 \)

\( 45x = 441 \)

\( x = \frac{441}{45} \)

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:

\( x = \frac{49}{5} \)

\( x = 9.8 \)

Проверим условие существования корней:

\( 21 - x \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( x \le 21 \)

\( 9.8 \le 21 \), условие выполняется.

Ответ: \( x = 9.8 \).