17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию f(x) = -2x³ + 3x² + 12x + 5 на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

1. Найдём производную функции:

   \( f'(x) = (-2x^3 + 3x^2 + 12x + 5)' \)

   \( f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   \( -6x^2 + 6x + 12 = 0 \)

   Разделим на -6:

   \( x^2 - x - 2 = 0 \)

   Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

   \( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

   \( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

   Критические точки: \( x = -1 \) и \( x = 2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах:

   Разделим числовую ось на интервалы: \( (-\infty; -1) \), \( (-1; 2) \), \( (2; +\infty) \).

   — На интервале \( (-\infty; -1) \), например, при \( x = -2 \): \( f'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -6(4) - 12 + 12 = -24 < 0 \). Функция убывает.

   — На интервале \( (-1; 2) \), например, при \( x = 0 \): \( f'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 > 0 \). Функция возрастает.

   — На интервале \( (2; +\infty) \), например, при \( x = 3 \): \( f'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -6(9) + 18 + 12 = -54 + 30 = -24 < 0 \). Функция убывает.

4. Определим точки экстремума:

   — В точке \( x = -1 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.

   — В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума.

   Вычислим значения функции в точках экстремума:

   \( f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) + 5 = -2(-1) + 3(1) - 12 + 5 = 2 + 3 - 12 + 5 = -2 \)

   \( f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) + 5 = -2(8) + 3(4) + 24 + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25 \)

Вывод:

• Функция возрастает на интервале \( (-1; 2) \).
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (2; +\infty) \).
• Точка минимума: \( (-1; -2) \).
• Точка максимума: \( (2; 25) \).