15. (3 балла) Решите уравнение $$\sqrt[4]{x^2 + 3x} = \sqrt[4]{21 - x}$$

Решение:

Данное уравнение является уравнением с корнями четвёртой степени. Для решения возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

\( (\sqrt[4]{x^2 + 3x})^4 = (\sqrt[4]{21 - x})^4 \)

\( x^2 + 3x = 21 - x \)

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 3x + x - 21 = 0 \)

\( x^2 + 4x - 21 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

Способ 1: Дискриминант

\( a = 1, b = 4, c = -21 \)

\( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{100} = 10 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7 \)

Способ 2: Теорема Виета

Для уравнения \( x^2 + 4x - 21 = 0 \):

\( x_1 + x_2 = -4 \)

\( x_1 x x_2 = -21 \)

Подбираем числа: 3 и -7. \( 3 + (-7) = -4 \), \( 3 x (-7) = -21 \).

Получили два потенциальных корня: \( x=3 \) и \( x=-7 \).

Проверка корней:

Необходимо подставить найденные корни в исходное уравнение, чтобы убедиться, что под корнем четвёртой степени стоят неотрицательные числа.

Для \( x = 3 \):

Левая часть: \( \sqrt[4]{3^2 + 3 \cdot 3} = \sqrt[4]{9 + 9} = \sqrt[4]{18} \)

Правая часть: \( \sqrt[4]{21 - 3} = \sqrt[4]{18} \)

Левая часть равна правой. \( x=3 \) — корень уравнения.

Для \( x = -7 \):

Левая часть: \( \sqrt[4]{(-7)^2 + 3 \cdot (-7)} = \sqrt[4]{49 - 21} = \sqrt[4]{28} \)

Правая часть: \( \sqrt[4]{21 - (-7)} = \sqrt[4]{21 + 7} = \sqrt[4]{28} \)

Левая часть равна правой. \( x=-7 \) — корень уравнения.

Ответ: 3; -7