15. Через каждую вершину треугольника параллельно его противоположной стороне провели прямую. Полученные три прямые образовали новый треугольник. Докажите, что вершины исходного треугольника являются серединами сторон нового треугольника.

Пусть дан треугольник \(ABC\). Через вершины проведём прямые:

• через \(A\) — прямую, параллельную \(BC\);
• через \(B\) — прямую, параллельную \(AC\);
• через \(C\) — прямую, параллельную \(AB\).

Пусть эти прямые образуют треугольник \(A_1B_1C_1\), причём \(A\), \(B\), \(C\) лежат соответственно на его сторонах.

Рассмотрим сторону нового треугольника, проходящую через точку \(A\). Из параллельности построенных прямых получаются параллелограммы, поэтому противоположные стороны и диагонали соответствующих фигур равны. В результате отрезки по обе стороны от точки \(A\) на этой стороне нового треугольника равны. Следовательно, \(A\) — середина соответствующей стороны треугольника \(A_1B_1C_1\).

Аналогично доказывается, что \(B\) и \(C\) — середины двух других сторон нового треугольника.

Итак, все вершины исходного треугольника являются серединами сторон построенного треугольника.

Что и требовалось доказать.