15. Дано: \( \angle 1 = 20° \), \( \angle 4 = 110° \). Найти: \( \angle 2, \angle 3 \).

Решение:

1. Угол \( \angle 2 \) и угол \( \angle 1 \) являются смежными, их сумма равна 180°. \( \angle 2 = 180° - \angle 1 = 180° - 20° = 160° \).
2. Угол \( \angle 4 \) является внешним углом треугольника, образованного сторонами и продолжением одной из сторон. Угол \( \angle 3 \) и этот внешний угол являются смежными. \( \angle 3 = 180° - \angle 4 = 180° - 110° = 70° \).
3. Также можно найти \( \angle 3 \) как сумму двух углов треугольника, не смежных с ним: \( \angle 3 = \angle 1 + \angle (вертикальный к \( \angle 2 \) ) \). Угол, вертикальный к \( \angle 2 \) равен \( 180° - 160° = 20° \). Тогда \( \angle 3 = 20° + 20° = 40° \). Это противоречит предыдущему расчету.
4. Рассмотрим треугольник: два угла равны \( 20° \) и \( 180° - 160° = 20° \) (вертикальный к \( \angle 2 \) ). Тогда третий угол равен \( 180° - 20° - 20° = 140° \).
5. Угол \( \angle 3 \) и этот угол \( 140° \) являются смежными. \( \angle 3 = 180° - 140° = 40° \).
6. Внешний угол \( \angle 4 \) должен быть равен сумме двух внутренних углов: \( \angle 4 = \angle 1 + \angle 3 = 20° + 40° = 60° \). Но по условию \( \angle 4 = 110° \).
7. Следовательно, угол \( \angle 2 \) не является смежным углу \( \angle 1 \). Угол \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) являются углами треугольника.
8. Угол, смежный с \( \angle 4 \) равен \( 180° - 110° = 70° \). Этот угол является внешним для треугольника.
9. Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются внутренними углами треугольника.
10. \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) являются смежными, \( \angle 3 = 180° - \angle 1 = 180° - 20° = 160° \).
11. Угол \( \angle 2 \) является внешним углом треугольника. \( \angle 2 = \angle 1 + \angle 3 \).
12. Исходя из рисунка, \( \angle 1 = 20° \) и \( \angle 4 = 110° \). \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) — углы треугольника. \( \angle 3 \) — угол треугольника.
13. Внешний угол при вершине равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Угол \( \angle 4 \) — внешний. \( \angle 4 = \angle 1 + \angle 3 \).
14. \( 110° = 20° + \angle 3 \) \( \implies \angle 3 = 110° - 20° = 90° \).
15. Угол \( \angle 2 \) смежен с углом \( \angle 3 \) (на рисунке показано, что они образуют развернутый угол). \( \angle 2 = 180° - \angle 3 = 180° - 90° = 90° \).

Ответ: \( \angle 2 = 90° \), \( \angle 3 = 90° \).