15. Дано: \( \angle 4 = 150° \). Найти: \( \angle 1, \angle 2, \angle 3 \).

Решение:

\( \angle 4 \) и \( \angle 3 \) — смежные углы. Сумма смежных углов равна 180°.

\( \angle 3 + \angle 4 = 180° \)

\( \angle 3 + 150° = 180° \)

\( \angle 3 = 180° - 150° \)

\( \angle 3 = 30° \)

\( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — углы при основании равнобедренного треугольника. По условию, длины отрезков на основании равны, что означает, что треугольник равнобедренный с основанием, где находятся \( \angle 2 \) и \( \angle 3 \).

\( \angle 1 \) — угол при вершине.

\( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — углы при основании, поэтому \( \angle 1 = \angle 3 \).

\( \angle 1 = 30° \)

\( \angle 2 \) — внешний угол при вершине, образованный продолжением одной из сторон основания. \( \angle 2 \) и \( \angle 1 \) — смежные углы.

\( \angle 1 + \angle 2 = 180° \)

\( 30° + \angle 2 = 180° \)

\( \angle 2 = 180° - 30° \)

\( \angle 2 = 150° \)

Проверка: Сумма углов треугольника: \( \angle 1 + \angle 3 + \text{угол при вершине} = 180° \). Внешний угол \( \angle 2 \) равен сумме двух других углов треугольника: \( \angle 2 = \angle 1 + \angle 3 \) (если \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — углы при основании, то \( \angle 2 \) — внешний угол при вершине).

В данном случае, \( \angle 2 \) является смежным к углу при вершине. Если \( \angle 1 = 30° \) и \( \angle 3 = 30° \), то угол при вершине равен \( 180° - (30°+30°) = 120° \). Тогда \( \angle 2 \) (смежный к углу при вершине) равен \( 180° - 120° = 60° \). Однако, на рисунке \( \angle 2 \) показан как тупой угол.

Переосмыслим рисунок: \( \angle 4 = 150° \) — внешний угол. \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) — углы при основании. \( \angle 1 = \angle 3 \).

Внешний угол \( \angle 4 \) равен сумме двух других углов треугольника: \( \angle 4 = \angle 1 + \text{угол при вершине} \). Это неверно, так как \( \angle 4 \) смежный с углом при основании.

Правильная интерпретация: \( \angle 4 = 150° \) — внешний угол, смежный с углом при основании, обозначенным \( \angle 3 \). Следовательно \( \angle 3 = 180° - 150° = 30° \).

Треугольник равнобедренный, поэтому \( \angle 1 = \angle 3 = 30° \).

Угол при вершине (между сторонами, образующими \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) ) равен \( 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120° \).

\( \angle 2 \) — это угол, смежный с углом при вершине, т.е. \( \angle 2 = 180° - 120° = 60° \).

Ответ: \( \angle 1 = 30° \), \( \angle 2 = 60° \), \( \angle 3 = 30° \).