15. Диагонали прямоугольника ABCD (см. рис. 46) пересекаются в точке O, ∠ADB = 30°. BD = 10 см. Найдите периметр прямоугольника AOB.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому AO = BO = BD/2 = 5 см.

Так как ∠ADB = 30°, а угол при D прямоугольника равен 90°, то ∠BDC = 60°. В равнобедренном треугольнике BCD (BC = BD) угол при C тоже равен 60°, значит, треугольник BCD равносторонний и BC = BD = 10 см. Диагональ AC равна BD, а значит, AC = 10 см и AO = 5 см.

Однако в треугольнике AOB угол AOB равен 180° − 2·30° = 120° (углы при A и B равны 30°). Его стороны AO и BO по 5 см, поэтому AB = 5√3 см по теореме косинусов: AB² = 25 + 25 − 50 cos 120° = 75.

Тогда периметр равен 5 + 5 + 5√3 = 10 + 5√3 см.

Ответ: 10 + 5√3 см.