15 Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.

Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник

Доказательство:

1. Пусть дан параллелограмм ABCD, и его диагонали AC = BD.
2. Рассмотрим треугольники ABC и DCB.
3. У них:
   • AB = DC (противоположные стороны параллелограмма равны).
   • AC = BD (по условию).
   • BC — общая сторона.
4. По трём сторонам (по трём сторонам), треугольники ABC и DCB равны.
5. Следовательно, соответствующие углы этих треугольников равны: угол B (в треугольнике ABC) равен углу C (в треугольнике DCB).
6. Так как ABCD — параллелограмм, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (угол B + угол C = 180°).
7. Поскольку угол B = углу C, то 2 * угол B = 180°, откуда угол B = 90°.
8. Если один угол параллелограмма равен 90°, то и все остальные углы также равны 90° (противоположный угол равен, а прилежащие — смежные).
9. Таким образом, параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Вывод: Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.