15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD=4, DC=6. Площадь треугольника АВС равна 80. Найдите площадь треугольника ABD.

Решение:

Площадь треугольника находится по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).

Так как точки D и C лежат на одной прямой AC, то треугольники ABD и CBD имеют одинаковую высоту, проведенную из вершины B. Обозначим эту высоту как h.

Тогда площадь треугольника ABD равна \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \), а площадь треугольника CBD равна \( S_{CBD} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot h \).

Мы знаем, что AD = 4 и DC = 6. Отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований:

\( \frac{S_{ABD}}{S_{CBD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h} = \frac{AD}{DC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и CBD:

\( S_{ABC} = S_{ABD} + S_{CBD} \)

Нам дана площадь треугольника ABC, равная 80. Пусть \( S_{ABD} = 2x \), тогда \( S_{CBD} = 3x \).

\( 2x + 3x = 80 \)

\( 5x = 80 \)

\( x = 16 \)

Теперь найдем площадь треугольника ABD:

\( S_{ABD} = 2x = 2 \cdot 16 = 32 \)

Ответ: 32