16. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 52°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть касательные, проведенные к окружности в точках A и B, пересекаются в точке C.

По условию, угол между касательными \( \angle ACB = 52^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник ACBO. Углы \( \angle CAO \) и \( \angle CBO \) являются прямыми, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Следовательно, \( \angle CAO = \angle CBO = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Поэтому:

\( \angle AOB + \angle CAO + \angle CBO + \angle ACB = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 90^{\circ} + 52^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 232^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 232^{\circ} = 128^{\circ} \)

Теперь рассмотрим треугольник ABO. OA и OB — это радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Следовательно, треугольник ABO — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим \( \angle ABO = \angle BAO = x \).

Сумма углов в треугольнике ABO равна 180°:

\( \angle AOB + \angle ABO + \angle BAO = 180^{\circ} \)

\( 128^{\circ} + x + x = 180^{\circ} \)

\( 128^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \)

\( 2x = 180^{\circ} - 128^{\circ} \)

\( 2x = 52^{\circ} \)

\( x = 26^{\circ} \)

Таким образом, \( \angle ABO = 26^{\circ} \).

Ответ: 26