15. На стороне АС треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 8, DC = 28. Площадь треугольника АВС равна 450. Найдите площадь треугольника ABD.

Анализ: Треугольники ABC и ABD имеют общую высоту, проведенную из вершины B к основанию AC. Площади таких треугольников относятся как их основания.

Дано:

• \( AC = AD + DC = 8 + 28 = 36 \)
• \( S_{ABC} = 450 \)
• \( AD = 8 \)

Найти: \( S_{ABD} \).

Решение:

1. Отношение оснований: \( \frac{AD}{AC} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \)
2. Отношение площадей: Так как треугольники имеют одинаковую высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований:
• \( \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} \)
• \( \frac{S_{ABD}}{450} = \frac{2}{9} \)
3. Вычисляем площадь ABD:
• \( S_{ABD} = 450 \times \frac{2}{9} \)
• \( S_{ABD} = 50 \times 2 \)
• \( S_{ABD} = 100 \)

Ответ: 100