15. Найдите точку максимума функции \( y = x^3 - 300x + 14 \).

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, найдем первую производную и приравняем ее к нулю.

Производная функции:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 300x + 14) = 3x^2 - 300 \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 300 = 0 \]

Решим уравнение:

\[ 3x^2 = 300 \]

\( x^2 = 100 \)
\( x = \pm 10 \)

Теперь найдем вторую производную, чтобы определить, где находится максимум:

\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 300) = 6x \]

Проверим значения \( x = 10 \) и \( x = -10 \) во второй производной:

• При \( x = 10 \): \( y''(10) = 6 \cdot 10 = 60 \). Так как \( y'' > 0 \), это точка минимума.
• При \( x = -10 \): \( y''(-10) = 6 \cdot (-10) = -60 \). Так как \( y'' < 0 \), это точка максимума.

Ответ: \( x = -10 \)