16. Решить уравнение: \( \sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0 \).

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x \neq 0 \) (так как \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)). В этом случае, подставляя \( \cos x = 0 \) в уравнение, получим \( \sin^2 x = 0 \), что противоречит \( \sin x \neq 0 \). Значит, \( \cos x \neq 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\[ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \]

Получим:

\[ \mathrm{tg}^2 x + 2\mathrm{tg} x - 3 = 0 \]

Сделаем замену \( t = \mathrm{tg} x \):

\[ t^2 + 2t - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). Корни \( t_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) и \( t_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).

Теперь вернемся к замене:

• \( \mathrm{tg} x = 1 \) \( \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• \( \mathrm{tg} x = -3 \) \( \implies x = \mathrm{arctg}(-3) + \pi k \) \( = -\mathrm{arctg}(3) + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) и \( x = -\mathrm{arctg}(3) + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \)