15. Основанием прямой призмы \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) является параллелограмм. На рёбрах \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M\), \(K\) и \(N\) соответственно, причём \(B_1K:KC_1=1:2\), а \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 6. а) Докажите, что \(N\) — середина \(BC\). б) Найдите площадь трапеции \(AMKN\), если объём призмы \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) равен 72, а её высота равна 2.

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf b\), а боковое ребро \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf h\). Тогда \(A=0\), \(B=\mathbf a\), \(C=\mathbf a+\mathbf b\), \(M=t\mathbf a+\mathbf h\), \(K=\mathbf a+\frac13\mathbf b+\mathbf h\), \(N=\mathbf a+s\mathbf b\), где \(0\le t,s\le1\).

а) Основания трапеции — \(MK\) и \(AN\): стороны \(AM\) и \(KN\) не могут быть параллельными основаниями длиной 4 и 6 (если они параллельны, то их длины равны). Векторы этих оснований задаются формулами \(\overrightarrow{MK}=(1-t)\mathbf a+\frac13\mathbf b\) и \(\overrightarrow{AN}=\mathbf a+s\mathbf b\). Параллельность даёт \(\overrightarrow{MK}=(1-t)\overrightarrow{AN}\), поэтому \(\frac13=(1-t)s\), а отношение длин оснований равно \(1-t\).

Так как \(0\le t\le1\), основание \(MK\) короче основания \(AN\). Значит, \(|MK|=4\), \(|AN|=6\), и \(1-t=\frac46=\frac23\). Следовательно, \(t=\frac13\), а из \(\frac13=(1-t)s\) получаем \(s=\frac12\). Точка \(N=\mathbf a+\frac12\mathbf b\) — середина отрезка \(BC\).

б) Площадь основания призмы равна \(72:2=36\). Пусть \(|\mathbf a|=q\), а угол между \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\) равен \(\theta\). Поскольку трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны: \(|AM|=|KN|\). При \(t=\frac13\) их векторы можно записать как \(\frac13\mathbf a+\mathbf h\) и \(\mathbf h-\frac16\mathbf b\). Так как призма прямая, \(\mathbf h\) перпендикулярен основанию и \(|\mathbf h|=2\). Из равенства боковых сторон следует \(|\mathbf b|=2q\).

Из \(|MK|=4\) имеем \(|2\mathbf a+\mathbf b|=12\). Используя площадь параллелограмма \(|\mathbf a\times\mathbf b|=36\), получаем \(2q^2\sin\theta=36\) и \(8q^2(1+\cos\theta)=144\). Следовательно, \(\sin\theta=1+\cos\theta\); для невырожденного параллелограмма отсюда \(\cos\theta=0\) и \(q^2=18\).

Тогда \(|AM|^2=\frac{q^2}{9}+2^2=6\), то есть боковая сторона трапеции равна \(\sqrt6\). В равнобедренной трапеции с основаниями 4 и 6 горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(\frac{6-4}{2}=1\). Поэтому высота трапеции равна \(\sqrt{6-1}=\sqrt5\), а её площадь — \(\frac{4+6}{2}\cdot\sqrt5=5\sqrt5\).

Ответ: а) \(N\) — середина \(BC\); б) \(5\sqrt5\).