16. Решите неравенство \(\frac{1}{\log_3 x+4}+\frac{2}{\log_3(3x)}\cdot\left(\frac{2}{\log_3 x+4}-1\right)\le0\).

Область определения: \(x>0\), \(\log_3x+4\ne0\), \(\log_3(3x)\ne0\). Обозначим \(t=\log_3x\); тогда \(t\ne-4\) и \(t\ne-1\).

Так как \(\log_3(3x)=t+1\), левая часть неравенства упрощается:

\[\frac1{t+4}+\frac2{t+1}\left(\frac2{t+4}-1\right)=\frac{t+1-2(t+2)}{(t+1)(t+4)}=-\frac{t+3}{(t+1)(t+4)}.\]

Следовательно, нужно решить \(\frac{t+3}{(t+1)(t+4)}\ge0\), учитывая, что \(t=-1,-4\) исключены. Методом интервалов получаем \(t\in(-4;-3]\cup(-1;+)\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(\log_3x\in(-4;-3]\cup(-1;+)\). Поскольку основание логарифма больше 1, получаем \(x\in\left(\frac1{81};\frac1{27}\right]\cup\left(\frac13;+\right)\).

Ответ: \(\left(\frac1{81};\frac1{27}\right]\cup\left(\frac13;+\right)\).