15. Площадь боковой поверхности конуса равна 15π см², а площадь его основания на 6π см² меньше. Найдите объём конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi r l = 15 \pi \) см², где \( r \) — радиус основания, \( l \) — образующая.

Площадь основания: \( S_{осн} = \pi r^2 \).

По условию, \( S_{осн} = S_{бок} - 6 \pi = 15 \pi - 6 \pi = 9 \pi \) см².

Из \( S_{осн} = \pi r^2 = 9 \pi \), получаем \( r^2 = 9 \), значит, \( r = 3 \) см.

Теперь из \( \pi r l = 15 \pi \) и \( r = 3 \) находим \( l \): \( 3 \pi l = 15 \pi \) \( \Rightarrow \) \( l = 5 \) см.

Высоту конуса \( h \) найдем по теореме Пифагора: \( h^2 + r^2 = l^2 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 + 3^2 = 5^2 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 + 9 = 25 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 = 16 \) \( \Rightarrow \) \( h = 4 \) см.

Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 9 \pi \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \pi \) см³.

Ответ: \( 12 \pi \) см³.