20. Найти объём тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 24 см и острым углом 30° вокруг меньшего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае вращение происходит вокруг меньшего катета.

Пусть гипотенуза \( c = 24 \) см, острый угол \( \alpha = 30^\circ \). Тогда меньший катет — это катет, противолежащий углу 30°.

Найдем длину меньшего катета (обозначим его \( a \)): \( a = c \sin(\alpha) = 24 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ) = 24 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 12 \) см. Этот катет будет высотой конуса \( h = 12 \) см.

Найдем длину другого катета (обозначим его \( b \)), который будет радиусом основания конуса: \( b = c \cos(\alpha) = 24 \text{ см} \cdot \cos(30^\circ) = 24 \text{ см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \) см. Итак, \( r = 12\sqrt{3} \) см.

Объем конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Подставим значения \( r \) и \( h \):

\( V = \frac{1}{3} \pi (12\sqrt{3} \text{ см})^2 \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi (144 \cdot 3 \text{ см}^2) \cdot 12 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi (432 \text{ см}^2) \cdot 12 \text{ см} = \pi \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot 12 \text{ см} = 1728 \pi \) см³.

Ответ: \( 1728 \pi \) см³.