15. Площадь прямоугольного треугольника равна 200√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

1. Обозначения: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. Пусть угол A = 60°, тогда угол B = 30°. Пусть катет, прилежащий к углу 60°, равен a (это катет AC), а катет, противолежащий углу 60°, равен b (это катет BC). Гипотенуза AB.
2. Площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

   \[ S = \frac{1}{2} × a × b \]

3. Связь между катетами и углами: В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   \[ an(A) = rac{BC}{AC} \]

   \[ an(60^ ext{o}) = rac{b}{a} \]

   \[ ext{Известно, что } an(60^ ext{o}) = √3 \]

   \[ √3 = rac{b}{a} \]

   \[ b = a √3 \]

4. Подставляем в формулу площади:

   \[ S = \frac{1}{2} × a × (a √3) \]

   \[ S = \frac{a^2 √3}{2} \]

5. Используем данную площадь: Нам известно, что S = 200√3. Подставим это значение:

   \[ 200√3 = rac{a^2 √3}{2} \]

6. Решаем уравнение относительно a:
   • Умножим обе части на 2:

     \[ 400√3 = a^2 √3 \]

   • Разделим обе части на √3:

     \[ 400 = a^2 \]

   • Извлечем квадратный корень:

     \[ a = √400 \]

     \[ a = 20 \]

7. Проверка: Найдем катет b:

   \[ b = a √3 = 20√3 \]

   Площадь:

   \[ S = \frac{1}{2} × 20 × 20√3 = 10 × 20√3 = 200√3 \]

   Это соответствует условию.

Ответ: 20