15. Площадь прямоугольного треугольника равна \(32\sqrt{3}\). Один из острых углов равен \(30^\circ\). Найдите длину гипотенузы.

Обозначим гипотенузу через \(c\). В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) катет, лежащий напротив этого угла, равен \(\dfrac{c}{2}\), а второй катет равен \(\dfrac{c\sqrt{3}}{2}\).

По формуле площади:

\[\frac{1}{2}\cdot\frac{c}{2}\cdot\frac{c\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}.\]

Отсюда \(\dfrac{c^2\sqrt{3}}{8}=32\sqrt{3}\), поэтому \(c^2=256\). Так как длина положительна, \(c=16\).

Ответ: 16.