15. Площадь равнобедренного треугольника равна \(\frac{289\sqrt{3}}{4}\). Угол, лежащий напротив основания, равен 120° (см. рис. 147). Найдите длину боковой стороны.

Пусть \( S \) - площадь равнобедренного треугольника, \( a \) - длина боковой стороны, \( \alpha \) - угол между боковыми сторонами. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: \( S = \frac{1}{2} a^2 \sin \alpha \) В нашем случае, \( S = \frac{289\sqrt{3}}{4} \) и \( \alpha = 120^{\circ} \). Синус 120 градусов: \( \sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Подставим все в формулу: \begin{align*} \frac{289\sqrt{3}}{4} &= \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{289\sqrt{3}}{4} &= \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \\ 289\sqrt{3} &= a^2 \sqrt{3} \\ a^2 &= 289 \\ a &= \sqrt{289} \\ a &= 17 \end{align*} Длина боковой стороны равна 17. **Ответ: 17**