15. Решите систему уравнений \(\begin{cases} 5x^2-9x = y, \\ 5x-9=y. \end{cases}\)

Решение:

Так как \( y \) в обоих уравнениях равно одному и тому же выражению, мы можем приравнять правые части уравнений:

\[ 5x^2 - 9x = 5x - 9 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ 5x^2 - 9x - 5x + 9 = 0 \]

\[ 5x^2 - 14x + 9 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: \( a = 5 \), \( b = -14 \), \( c = 9 \).

Дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 9 = 196 - 180 = 16 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни \( x \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 4}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 4}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные значения \( x \) во второе уравнение \( y = 5x - 9 \) (оно проще):

Для \( x_1 = 1.8 \):

\[ y_1 = 5 \cdot 1.8 - 9 = 9 - 9 = 0 \]

Для \( x_2 = 1 \):

\[ y_2 = 5 \cdot 1 - 9 = 5 - 9 = -4 \]

Таким образом, система имеет два решения:

\( (1.8; 0) \) и \( (1; -4) \).

Ответ: \( (1.8; 0), (1; -4) \)