15. Решите уравнение - х² - 10x + 4 = (x + 8)².

Решение:

Раскроем скобки в правой части уравнения:

\( (x+8)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( -x^2 - 10x + 4 = x^2 + 16x + 64 \)

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\( 0 = x^2 + 16x + 64 + x^2 + 10x - 4 \)

\( 0 = (x^2 + x^2) + (16x + 10x) + (64 - 4) \)

\( 0 = 2x^2 + 26x + 60 \)

Чтобы упростить, разделим все уравнение на 2:

\( x^2 + 13x + 30 = 0 \)

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

Способ 1: Теорема Виета

Ищем два числа, произведение которых равно 30, а сумма равна -13.

Это числа -3 и -10.

\( (-3) \cdot (-10) = 30 \)

\( (-3) + (-10) = -13 \)

Значит, корни уравнения: \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = -10 \).

Способ 2: Дискриминант

\( a = 1, b = 13, c = 30 \)

\( D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 169 - 120 = 49 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{49} = 7 \)

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 + 7}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 - 7}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10 \)

Ответ: -3; -10