15. Решите уравнение \(\log_2\frac{x}{6}=\log_{0,5}(x+1)\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Область определения: \(\frac{x}{6}>0\) и \(x+1>0\), поэтому \(x>0\).

Поскольку \(0,5=\frac12=2^{-1}\), имеем \(\log_{0,5}(x+1)=-\log_2(x+1)\). Тогда

\(\log_2\frac{x}{6}=-\log_2(x+1)=\log_2\frac{1}{x+1}\).

Приравниваем положительные аргументы: \(\frac{x}{6}=\frac{1}{x+1}\). Получаем \(x(x+1)=6\), то есть \(x^2+x-6=0\).

Разложение на множители: \((x+3)(x-2)=0\), поэтому возможны \(x=-3\) и \(x=2\). Области определения удовлетворяет только \(x=2\).

Ответ: \(2\).