15. Решите уравнение: sin 2x + 2sin2x = 0.

Решение:

Уравнение: \( \sin(2x) + 2\sin^2(x) = 0 \).

Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\( 2\sin(x)\cos(x) + 2\sin^2(x) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 2\sin(x) \):

\( 2\sin(x)(\cos(x) + \sin(x)) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( 2\sin(x) = 0 \)

\( \sin(x) = 0 \)

\( x = \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Случай 2: \( \cos(x) + \sin(x) = 0 \)

Разделим обе части на \( \cos(x) \) (при условии, что \( \cos(x) \ne 0 \). Если \( \cos(x) = 0 \), то \( \sin(x) = \pm 1 \), и \( 0 + (\pm 1) \ne 0 \), значит \( \cos(x) \ne 0 \) — это верно).

\( 1 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 0 \)

\( 1 + \tan(x) = 0 \)

\( \tan(x) = -1 \)

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Объединяя оба случая, получаем решения.

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).