16. Решите неравенство: 2x + 21-x - 3 < 0.

Решение:

Неравенство: \( 2^x + 2^{1-x} - 3 < 0 \).

Запишем \( 2^{1-x} \) как \( 2^1 \cdot 2^{-x} = 2 \cdot \frac{1}{2^x} \).

Пусть \( y = 2^x \). Тогда неравенство примет вид:

\( y + 2 \cdot \frac{1}{y} - 3 < 0 \)

Умножим обе части на \( y \). Поскольку \( y = 2^x \), то \( y > 0 \). Знак неравенства не изменится.

\( y^2 + 2 - 3y < 0 \)

\( y^2 - 3y + 2 < 0 \)

Решим квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения \( y^2 - 3y + 2 = 0 \).

\( (y-1)(y-2) = 0 \)

Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 2 \).

Парабола \( y^2 - 3y + 2 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( y^2 - 3y + 2 < 0 \) выполняется при \( 1 < y < 2 \).

Теперь вернемся к замене \( y = 2^x \).

\( 1 < 2^x < 2 \)

Запишем 1 как \( 2^0 \) и 2 как \( 2^1 \):

\( 2^0 < 2^x < 2^1 \)

Так как основание степени \( 2 > 1 \), функция \( f(x) = 2^x \) возрастающая. При возведении в степень в одинаковом порядке, получаем:

\( 0 < x < 1 \).

Ответ: \( (0; 1) \).