15. Сторона AB острого треугольника ABC равна 20. В треугольнике проведены медиана CM и высота CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, точка M — середина AB, поэтому AM = MB = 20 : 2 = 10.

Пусть AH = x, а CH = h. Тогда HB = 20 − x. Из прямоугольных треугольников CMH и CBH:

CM² = (x − 10)² + h², CB² = (20 − x)² + h².

По условию CM = CB, следовательно, (x − 10)² = (20 − x)². Поскольку 0 < x < 20, получаем x − 10 = 20 − x, откуда x = 15.

Ответ: 15.