15. Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 20. В треугольнике ABC провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка AH?

Так как CM — медиана, M — середина AB, поэтому AM = MB = 10.

Обозначим HB = x. Тогда MH = MB − HB = 10 − x. Из прямоугольных треугольников CHB и CHM:

CB² = CH² + x², CM² = CH² + (10 − x)².

По условию CB = CM, поэтому x² = (10 − x)². Поскольку 0 ≤ x ≤ 10, получаем x = 5, значит MH = 5.

AH = AM + MH = 10 + 5 = 15.

Ответ: 15.