15. Сторона AB остроугольного треугольника ABC равна 20. В треугольнике провели медиану CM и высоту CH, причём CM = CB. Чему равна длина отрезка BH?

Пусть AH = x, тогда из условия AM = MB = 10.

Рассмотрим прямоугольные треугольники CMH и CBH. По теореме Пифагора:

\(CM^2 = (x-10)^2 + CH^2\),

\(CB^2 = (20-x)^2 + CH^2\).

Так как \(CM=CB\), получаем:

\((x-10)^2=(20-x)^2\).

Отсюда \(x=15\), то есть \(AH=15\). Поэтому

\(BH=AB-AH=20-15=5\).

Ответ: 5.