15. Сторона AB прямоугольного треугольника ABC равна 8. В треугольнике проведены медиана CM и высота CH, причём CM = CH. Чему равна длина отрезка AH?

Так как треугольник ABC прямоугольный, а CM — медиана к гипотенузе AB, то:

\(CM=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4\).

По условию \(CH=CM=4\).

Для высоты, проведённой к гипотенузе, справедливо: \(CH^2=AH\cdot HB\). Пусть \(AH=x\), тогда \(HB=8-x\).

\(4^2=x(8-x)\);
\(16=8x-x^2\);
\(x^2-8x+16=0\);
\((x-4)^2=0\).

Ответ: 4.