15. Тип 14 № 12964 Рассмотрите рисунок на клетчатой бумаге. Найдите площадь заштрихованной области. Число π принять равным 3,14, сторона клетки равна 0,5 см. Ответ дайте в см².

Решение:

На рисунке изображена фигура, состоящая из квадрата и четырёх секторов круга. Также есть заштрихованная область.

1. Площадь квадрата: Сторона клетки равна 0,5 см. Внутренний квадрат состоит из 4x4 = 16 клеток. Его сторона равна \( 4 \text{ клетки} \times 0,5 \text{ см/клетка} = 2 \text{ см} \). Площадь квадрата равна \( 2 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}^2 \).
2. Площадь круга: Радиус круга равен 5 клеткам, то есть \( 5 \text{ клеток} \times 0,5 \text{ см/клетка} = 2,5 \text{ см} \). Площадь круга равна \( \pi R^2 = 3,14 \times (2,5 \text{ см})^2 = 3,14 \times 6,25 \text{ см}^2 = 19,625 \text{ см}^2 \).
3. Площадь заштрихованной области: Заштрихованная область — это площадь круга минус площадь незаштрихованной части внутри круга. Незаштрихованная часть внутри круга состоит из квадрата и четырёх полукругов (или двух полных кругов), расположенных по углам квадрата. Можно заметить, что незаштрихованная часть внутри круга, не являющаяся квадратом, состоит из 4 одинаковых сегментов.
4. Альтернативный подход: Наблюдаем, что большая фигура (внешний контур) похожа на крест, вписанный в круг. Заштрихованная область – это площадь круга минус площадь фигуры, напоминающей крест. Фигура, напоминающая крест, состоит из центрального квадрата \( 2 \times 2 \text{ см} \) и четырех прямоугольников \( 1 \times 2 \text{ см} \) (по 2 клетки в длину и 1 клетку в ширину, каждая клетка 0,5 см).
5. Рассмотрим заштрихованную область: Внутри круга есть не заштрихованная фигура. Эта фигура состоит из квадрата \( 2 \times 2 \text{ см} \) и 4 прямоугольников \( 1 \times 2 \text{ см} \), расположенных по бокам квадрата.
6. Считаем клетки: Общая площадь фигуры, напоминающей крест, на клетчатой бумаге: центральный квадрат - 16 клеток, 4 боковых прямоугольника - по 8 клеток каждый. Итого: \( 16 + 4 \times 8 = 16 + 32 = 48 \) клеток.
7. Площадь одной клетки: \( 0,5 \text{ см} \times 0,5 \text{ см} = 0,25 \text{ см}^2 \).
8. Площадь фигуры-креста: \( 48 \text{ клеток} \times 0,25 \text{ см}^2/\text{клетку} = 12 \text{ см}^2 \).
9. Площадь заштрихованной области: Это площадь круга минус площадь фигуры-креста: \( 19,625 \text{ см}^2 - 12 \text{ см}^2 = 7,625 \text{ см}^2 \).

Ответ: 7,625 см².