15. Тип 8 № 474147 i Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{36a^{21}}}{a^{15}}\) при а = 2.

Решение:

Сначала упростим выражение под корнем:

1. Извлечём квадратный корень из числа 36:
\( \sqrt{36} = 6 \)
2. Извлечём квадратный корень из \( a^{21} \). Для этого представим \( a^{21} \) как \( a^{20} \cdot a \) и извлечём корень из \( a^{20} \), получим \( a^{10} \). Корень из \( a \) останется под знаком корня: \( \sqrt{a^{21}} = \sqrt{a^{20} \cdot a} = a^{10}\sqrt{a} \).
3. Теперь подставим это в дробь:
\( \frac{6 \cdot a^{10}\sqrt{a}}{a^{15}} \)
4. Упростим выражение, вычитая показатели степеней \( a \):
\( 6 \cdot a^{10-15}\sqrt{a} = 6 \cdot a^{-5}\sqrt{a} = \frac{6\sqrt{a}}{a^5} \)
5. Теперь подставим \( a = 2 \) в упрощённое выражение:
\( \frac{6\sqrt{2}}{2^5} \)
6. Вычислим результат:
\( \frac{6\sqrt{2}}{32} = \frac{3\sqrt{2}}{16} \)

Ответ: \(\frac{3\sqrt{2}}{16}\)