15. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Отношение длин дуг: Длины дуг пропорциональны центральным углам, которые на них опираются. Пусть \( \alpha \) — центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, а \( \beta \) — на большую. Тогда \( \alpha : \beta = 9 : 11 \).
2. Сумма углов: Полный круг составляет \( 360^{\circ} \). Поэтому \( \alpha + \beta = 360^{\circ} \).
3. Составим пропорцию: Мы можем представить \( \alpha = 9x \) и \( \beta = 11x \) для некоторой константы \( x \).
4. Подставим в уравнение суммы углов: \( 9x + 11x = 360^{\circ} \).
5. Решим уравнение: \( 20x = 360^{\circ} \) \( \Rightarrow \) \( x = \frac{360^{\circ}}{20} = 18^{\circ} \).
6. Найдем искомый угол: Нас интересует центральный угол, опирающийся на меньшую дугу, то есть \( \alpha \). \( \alpha = 9x = 9 \times 18^{\circ} = 162^{\circ} \).

Ответ: 162