15. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим \(AB=a\), а диагональ \(AC=2a\). В параллелограмме \(CD=AB=a\), а угол между направлениями \(AC\) и \(AB\) равен \(\angle ACD=104^\circ\).

Пусть \(u\) — вектор диагонали \(AC\), а \(p\) — вектор стороны \(AB\). Тогда диагональ \(BD\) задаётся вектором \(u-2p\). При этом \(|u|=2a\), \(|p|=a\), и угол между \(u\) и \(p\) равен \(104^\circ\).

Скалярное произведение: \(u\cdot(u-2p)=4a^2(1-\cos104^\circ)\). Кроме того, \(|u-2p|^2=8a^2(1-\cos104^\circ)\). Поэтому для острого угла \(\theta\) между диагоналями \(\cos\theta=\frac{u\cdot(u-2p)}{|u||u-2p|}=\sin52^\circ=\cos38^\circ\).

Следовательно, \(\theta=38^\circ\).

Ответ: 38°.